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norteLos teóricos de la sombra siempre están buscando una estructura oculta. Y cuando se enfrentan a un patrón numérico que parece inevitable, ponen a prueba su temple, esforzándose (ya menudo fallando) en idear situaciones en las que un patrón determinado no puede aparecer.
Uno de los últimos resultados para demostrar la resiliencia de tales patrones, de Thomas Bloom de la Universidad de Oxford, responde a una pregunta con raíces que se remontan al antiguo Egipto.
“Podría ser el problema más antiguo de la historia”, dijo Carl Pomerance de Dartmouth College.
La pregunta involucra fracciones que cuentan con un 1 en su numerador, como 1/2, 1/7o 1/122. Estas “fracciones unitarias” eran especialmente importantes para los antiguos egipcios porque eran los únicos tipos de fracciones que contenía su sistema numérico: con la excepción de un solo símbolo para 2/3solo podían expresar fracciones más complicadas (como 3/4) como sumas de fracciones unitarias (1/2 + 1/4).
El interés actual en tales sumas aumentó en la década de 1970, cuando Paul Erdős y Ronald Graham preguntaron qué tan difícil sería crear conjuntos de números enteros que no contengan un subconjunto cuyos recíprocos suman 1. Por ejemplo, el el conjunto {2, 3, 6, 9, 13} no pasa esta prueba: contiene el subconjunto {2, 3, 6}, cuyos recíprocos son las fracciones unitarias 1/2, 1/3y 1/6—que suman 1.
Más exactamente, Erdős y Graham conjeturaron que cualquier conjunto que muestre una proporción positiva suficientemente grande de los números enteros (podría ser 20 por ciento, 1 por ciento o 0,001 por ciento) debe contener un subconjunto cuyos recíprocos suman 1. Si el conjunto inicial satisface esa condición simple de muestrear suficientes números enteros (conocido como tener “densidad positiva”), incluso si sus miembros fueran elegidos deliberadamente para dificultar encontrar ese subconjunto, el subconjunto tendría que existir.
“Simplemente pensé que esta era una pregunta imposible que nadie en su sano juicio podría jamás hacer”, dijo Andrew Granville de la Universidad de Montreal. “No vi ninguna herramienta obvia que pudiera atacarlo”.
La participación de Bloom con la pregunta de Erdős y Graham surgió de una tarea asignada: en septiembre pasado, se le pidió que presentara un artículo de hace 20 años a un grupo de lectura en Oxford.
Ese artículo, de un matemático llamado Ernie Croot, había resuelto la llamada versión coloreada del problema de Erdős-Graham. Allí, los números enteros se ordenan aleatoriamente en diferentes baldes designados por colores: unos van en el balde azul, otros en el rojo, y así sucesivamente. Erdős y Graham predijeron que no importa cuántos cubos diferentes se usen en esta clasificación, al menos un cubo debe contener un subconjunto de números enteros cuyos recíprocos sumen 1.
Croot introdujo métodos nuevos y poderosos a partir del análisis armónico, una rama de las matemáticas estrechamente relacionada con el cálculo, para confirmar la predicción de Erdős-Graham. Su trabajo fue publicado en el Anales de Matemáticasla revista líder en el campo.
“Es un placer leer el argumento de Croot”, dijo Giorgis Petridis de la Universidad de Georgia. “Requiere creatividad, ingenio y mucha fuerza técnica”.
Sin embargo, a pesar de lo impresionante que fue el artículo de Croot, no pudo responder a la versión de densidad de la conjetura de Erdős-Graham. Esto se debió a una conveniencia que Croot aprovechó y que está disponible en la formulación de clasificación de cubos, pero no en la de densidad.
Al clasificar números en cubos, Croot quería esquivar los números compuestos con grandes factores primos. Los recíprocos de esos números tienden a sumar fracciones con un denominador masivo en lugar de reducirse a fracciones más simples que se combinan más fácilmente para hacer 1. Entonces, Croot demostró que si un conjunto tiene suficientes números con muchos factores primos relativamente pequeños, siempre debe contienen un subconjunto cuyos recíprocos suman 1.
Croot demostró que al menos un balde siempre satisface esa propiedad, lo cual fue suficiente para probar el resultado de la coloración. Pero en la versión de densidad más general, los matemáticos no pueden simplemente elegir el cubo que resulte más conveniente. Es posible que tengan que buscar una solución en un cubo que no contenga números con factores primos pequeños, en cuyo caso, el método de Croot no funciona.
“Era algo que no podía entender”, dijo Croot.
Pero dos décadas más tarde, mientras Bloom se preparaba para presentar el artículo de Croot a su grupo de lectura, se dio cuenta de que podía sacar aún más provecho de las técnicas que Croot había introducido.
“Pensé, espera, el método de Croot [is] en realidad más fuerte de lo que parecía al principio”, dijo Bloom. “Así que jugué durante algunas semanas, y este resultado más fuerte salió de eso”.
La prueba de Croot se basó en un tipo de integral llamada suma exponencial. Es una expresión que puede detectar cuántas soluciones enteras hay para un problema; en este caso, cuántos subconjuntos contienen una suma de fracciones unitarias que es igual a 1. Pero hay un problema: casi siempre es imposible resolver exactamente estas sumas exponenciales. Incluso estimarlos puede volverse prohibitivamente difícil.
La estimación de Croot le permitió probar que la integral con la que estaba trabajando era positiva, una propiedad que significaba que existía al menos una solución en su conjunto inicial.
“Lo resuelve de forma aproximada, lo cual es suficientemente bueno”, dijo Christian Elsholtz de la Universidad Tecnológica de Graz en Austria.
Bloom adaptó la estrategia de Croot para que funcionara con números con grandes factores primos. Pero hacer esto requería superar una serie de obstáculos que hacían más difícil demostrar que la suma exponencial era mayor que cero (y por lo tanto que la conjetura de Erdős-Graham era cierta).
Tanto Croot como Bloom dividieron la integral en partes y demostraron que un término principal era grande y positivo, y que todos los demás términos (que a veces podían ser negativos) eran demasiado pequeños para hacer una diferencia significativa.
Pero mientras que Croot descartó los números enteros con factores primos grandes para demostrar que esos términos eran lo suficientemente pequeños, el método de Bloom le dio un mejor control sobre esas partes de la suma exponencial y, como resultado, más margen de maniobra cuando se trata de números que de otro modo podrían significar problemas. . Esos alborotadores aún podían obstaculizar la demostración de que un término dado era pequeño, pero Bloom demostró que había relativamente pocos lugares donde eso sucedía.
“Siempre estamos estimando sumas exponenciales”, dijo Greg Martin de la Universidad de Columbia Británica. “Pero cuando el exponencial en sí tiene tantos términos, se necesita mucho optimismo para confiar en que encontrarás una manera de estimar [it] y mostrar que [it’s] grande y positivo”.
En lugar de usar este método para buscar conjuntos de números cuyos recíprocos suman 1, Bloom lo empleó para encontrar conjuntos con recíprocos que suman fracciones constituyentes más pequeñas. Luego los usó como bloques de construcción para llegar al resultado deseado.
“No vas a encontrar 1 honestamente”, dijo Bloom. “Estás encontrando tal vez 1/3pero si haces eso tres veces de tres maneras diferentes, simplemente súmalos y obtendrás 1″.
Eso lo dejó con una declaración mucho más fuerte sobre cuán robusto es realmente este patrón numérico: siempre que un conjunto contenga una porción pequeña pero suficientemente grande de la recta numérica, sin importar cómo se vea esa porción, es imposible evitar encontrar estas sumas claras. de fracciones unitarias.
“Es un resultado sobresaliente”, dijo Izabella Łaba de la Universidad de Columbia Británica. “La teoría de números combinatoria y analítica ha evolucionado mucho en los últimos 20 años. Eso hizo posible volver a un viejo problema con una nueva perspectiva y con formas más eficientes de hacer las cosas”.
Al mismo tiempo, también deja a los matemáticos con una nueva pregunta para resolver, esta vez sobre conjuntos en los que no es posible encontrar una suma de fracciones unitarias que sea igual a 1. Los números primos son un ejemplo: no hay ningún subconjunto de números primos cuyos recíprocos sumen a 1, pero esta propiedad también puede ser válida para otros conjuntos infinitos que son “más grandes”, en el sentido de que la suma de sus recíprocos se aproxima al infinito incluso más rápidamente que los recíprocos de los números primos. ¿Qué tan rápido pueden crecer esas sumas antes de que resurja la estructura oculta y algunos de sus recíprocos inevitablemente suman 1?
“La conjetura de Erdős-Graham era una pregunta muy natural, pero no es la respuesta completa”, dijo Petridis.
Imagen principal: el número 1 se puede escribir como una suma de distintas fracciones unitarias, como 1/2 + 1/3 + 1/12 + 1/18 + 1/36. Un matemático ha demostrado que siempre que un conjunto de números enteros contenga una porción lo suficientemente grande de la recta numérica, debe incluir algún subconjunto de números cuyos recíprocos sumen 1. Crédito: Quanta Magazine
Este artículo fue publicado originalmente en el Abstracciones cuánticas Blog.
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