¿Lo resolviste? ¿Qué tan feroz eres? | Matemáticas

El día de hoy Les presento este acertijo de uno de los lógicos más importantes del mundo sobre un grupo de cinco filósofos hambrientos de poder. Aquí está de nuevo con la solución.

El consejo gobernante del filósofo

En la antigua tierra de Philosophia hay un consejo gobernante de cinco filósofos, clasificados linealmente por poder y prestigio, con varios beneficios que se acumulan en el orden de este rango. El filósofo 1 es el rey filósofo reconocido, el más poderoso, y luego el filósofo 2 y así sucesivamente.

Es hora de elegir un nuevo consejo y, según el largo procedimiento acordado, el filósofo de menor rango propone un nuevo consejo y clasificación. El nuevo consejo propuesto puede, en principio, incluir a cualquier ciudadano de Philosophia; los candidatos no se limitan a los miembros actuales del consejo, aunque, curiosamente, suele suceder que el nuevo consejo esté constituido por miembros anteriores del consejo. Ante la nueva propuesta, el consejo vota. Si la mayoría lo aprueba, entonces este será el nuevo consejo y rango; de lo contrario, el filósofo de menor rango es expulsado del consejo y el siguiente filósofo de menor rango hace una propuesta. Este proceso continúa hasta que se apruebe un nuevo consejo y ranking.

Como se mencionó anteriormente, estos filósofos son una multitud egoísta, todos empeñados en convertirse en el rey filósofo del nuevo consejo. Cada miembro prefiere estar en el nuevo consejo por encima de todas las demás cosas y nunca votará a favor de un consejo en el que no esté. En segundo lugar, al estar en el consejo propuesto, preferirían tener el rango más alto posible (es decir, un número bajo; siendo el filósofo 1 el mejor, el 2 el segundo mejor, y así sucesivamente). En tercer lugar, dado que estarán en el consejo con un cierto rango, prefieren que el consejo sea lo más pequeño posible, para no tener que compartir el poder innecesariamente (pero se prefiere un rango superior en un consejo más grande).

El filósofo 5, el filósofo de menor rango, comienza proponiendo un consejo y una clasificación.

¿Puedes sugerir una propuesta que garantice que el filósofo 5 se convierta en rey filósofo?

Solución

Como mencioné en la publicación original, el rompecabezas se resuelve trabajando al revés. Para saber qué propondrá el filósofo 5, parece que necesitamos saber ya qué propondrá el filósofo 4, ya que esa será la alternativa si rechazamos la propuesta del filósofo 5.

Comencemos con el caso más fácil, donde el consejo tiene un solo filósofo, el rey. En este caso, será el filósofo de menor rango y podrá proponer que el nuevo consejo gobernante sea el mismo que el antiguo consejo gobernante, teniendo solo a él mismo como miembro. Ésta es claramente la situación más deseada, según los valores filósofos que hemos mencionado, por lo que votará a favor y el plan será adoptado.

Si actualmente hay dos filósofos en el consejo, entonces el filósofo 2 debe proponer un plan que será aprobado por unanimidad, ya que esa es la única manera de tener una mayoría de dos. Pero el filósofo 1 no aprobará ningún plan excepto el de estar solo en el consejo, ya que eso es lo que puede lograr si se rechaza el plan del filósofo 2. Y dijimos que la filósofa 2 sólo votará para aprobar un plan en el que ella esté en el consejo. Entonces, la propuesta del filósofo 2, sea cual sea, será rechazada y eventualmente terminaremos con el consejo del filósofo 1.

Si hay tres filósofos en el consejo, entonces el filósofo 3, que necesita dos votos, propondrá un consejo de dos, formado por él mismo como rey y el filósofo 2 como siguiente miembro. Esto será aprobado por los filósofos 2 y 3, ya que ambos lo prefieren al resultado del caso de los dos filósofos. Y además, este es el mejor arreglo posible para el filósofo 3, ya que es nombrado rey en un consejo de tamaño dos.

Si actualmente hay cuatro filósofos, entonces el filósofo 4 necesita tres votos. No obtendrá el voto del filósofo 3, quien estaría muy bien si su plan fuera rechazado, pero puede obtener la aprobación de un consejo de tres miembros formado por el filósofo 2, ella misma y el filósofo 1, en ese orden. Cada uno de estos tres votará a favor, ya que están mejor con esto que con la alternativa, y esto es además lo mejor posible para el filósofo 4, porque necesita un consejo de tres miembros, pero debe mejorar la situación del filósofo 2, y así El filósofo 2 debe convertirse en rey (o deberíamos decir reina), y luego el filósofo 4, lo cual es óptimo, y luego el filósofo 1 será tercero, lo cual es mejor de lo que obtendría con la propuesta competitiva del filósofo 3.

Consideremos ahora el caso de cinco filósofos en el consejo. El filósofo 5 necesita tres votos y por tanto propondrá un consejo de tamaño tres, y de hecho puede proponer el consejo: él mismo, el filósofo 1, el filósofo 3, en ese orden. Al filósofo 5 le gusta mucho esto, convirtiéndose en rey, y el filósofo 1 prefiere este al plan anterior del filósofo 4, ya que tendrá el rango dos en lugar del rango tres. Al filósofo 3 también le gusta este plan, ya que no estaba en absoluto en el consejo propuesto por el filósofo 4.

Resumamos las propuestas de la siguiente manera:

Si desea leer más información sobre este rompecabezas, puede encontrarlo en el Substack de Joel David Hamkins. Infinitamente más. (Parte del contenido es gratuito, parte es para suscriptores pagos).

Hamkins, quien escribió el rompecabezas, es profesor de Lógica O’Hara en la Universidad de Notre Dame y anteriormente fue profesor de Lógica en la Universidad de Oxford. Infinitamente más es un recurso increíble para cualquiera que disfrute de la intersección de las matemáticas y la filosofía. Incluye numerosos ensayos, así como serializaciones de sus libros y acertijos.

Hamkins es muy activo en línea: está en el 0,01 por ciento de los contribuyentes principales a MathOverflow.

Espero que hayas disfrutado el rompecabezas de hoy. Volveré en dos semanas.

He estado armando un rompecabezas aquí lunes alternos desde 2015. Siempre estoy buscando grandes rompecabezas. Si desea sugerir alguno, envíeme un correo electrónico.